Atraktor (v) hadí mysli

Také vás zaráží, jak je možné, že i pouhé dva kabely stačí k tomu, aby z nich po nějaké, obvykle velice krátké, době vznikla těžko rozpletitelná změť? A když je jich víc, často pak máte chuť přistoupit k Alexandrovu řešení. Jedním z lidí, kteří se tímto problémem zabývají na teoretické úrovni, je mladá americká matematička a amatérská herpetoložka Zora Tohlová, Ph.D. Záhy uvidíme, že – ačkoli budeme hovořit o matematicky zaměřené publikaci – je zde zmínka o koníčku dr. Tohlové zcela na místě.
Zora Tohlová vystudovala matematiku na Miscatonic University a zaměřila se na nyní tak populární teorii chaosu. Její první články a práce pouze rozvíjely problematiku populačních oscilací a nepřinesly nic nového, ovšem nejnovější samostatný publikační počin, kniha Snakemind Attractor vydaná v lednu roku 2009 malým nákladem v Arkhamu, si pozornost bezpochyby zaslouží, i když se obávám, že jistá obskurnost autorčiny alma mater může být na překážku.
Autorka v úvodu téměř dvousetstránkové publikace píše, že ústřední myšlenka ji napadla při pozorování mláďat užovky Thamnophis sirtalis.
Když viděla stovky propletených dlouhých hadích tělíček, zeptala se sama sebe, jak je možné, že se vůbec dokáží rozplést, když i řádově menší množství běžných šňůr či kabelů dokáže zamotat hlavu každému, kdo je chce oddělit od sebe. Jak hadi tento problém „řeší“? V této souvislosti si vzpomněla na úvahu Iana Stewarta, který ve své knize Odsud až do nekonečna (v českém vydání na stranách 279-80) uvažuje o tom, že nepředvídatelný pohyb kořisti unikající před dravcem by bylo možné modelovat jako atraktor ve fázovém prostoru. Bylo by možné, ptá se autorka, zkusit namodelovat ve fázovém prostoru chování klubka hadů?
Pro nematematicky zaměřeného čtenáře nyní vložím krátkou vsuvku: Máme-li systém, v němž se bod pohybuje po nějaké trajektorii a konverguje k nějakému bodu či křivce, pak je tento bod (případně křivka) nazýván atraktor. Tedy něco, co přitahuje. Typickým jednoduchým atraktorem periodického jevu je kružnice. Existuje však mnoho fenoménů, které jsou mnohem složitější, chaotičtější a k jejichž popisu potřebujeme vícedimenzionální prostor a mnohem složitější struktury, jež jsou právem označovány jako „podivné atraktory“ a často mají i bohaté praktické uplatnění při modelování reálných jevů: například nejznámější z nich, Lorenzův atraktor, vyvolává „náhodnou“ dynamiku v deterministické rovnici sestavené z modelu počasí. Autorka se tedy, laicky řečeno, ptá: Bylo by možné navrhnout rovnici, která by modelovala chování propletených hadů?
Aby mohla tento oříšek rozlousknout, musela se nejprve pustit do oblasti, jíž se do té doby nezabývala – do topologie uzlů – a provázat ji, téměř doslova, s matematikou chaosu. V zásadě šlo o to nejprve vytvořit model, který by zahrnoval chaos a entropii v souvislosti se vznikem pravých, ale též falešných uzlů. Tehdy objevila článek dr. Medarda Fieldera z Oxfordské univerzity, který se tímto problémem zabýval. Vyměnili si sérii mailů a výsledkem byl společný esej Chaos Theory and the Jones Polynomials (Mathematics Magazine, Feb. 2006, 9-31). Jak však autorka přiznává, nesdělila svému společníkovi skutečný předmět svého zájmu a poté, co měla k dispozici nástroj, jenž účinně kombinoval teorii uzlů a chaosu, jala se pátrat po „hadím atraktoru“ sama. Zde končí obsáhlá předmluva.
Další část knihy je vzdělanému laikovi, jako jsem já, srozumitelná asi jen z poloviny. Každá kapitola je tvořena úvodem, v němž se dozvídáme, co autorku inspirovalo a jak hledala řešení (dr. Tohlová až nezvykle velkoryse zve čtenáře do své „matematické kuchyně“), který místy až matoucím způsobem plynule přechází v již ryze matematickou část, tvořenou teorémy, rovnicemi a samozřejmě důkazy. O těch mohu říci jen jediné: Naplňují mne bezmezným obdivem a současně ve mně vyvolávají nezměrný smutek, neboť vím, že tomuto jazyku již nikdy neporozumím a nedokáži tedy skutečně ocenit důmyslnost, krásu, eleganci a naprostou nadčasovost kvalitního matematického pojednání.
Než přejdu k závěru knihy, který verbálně shrnuje podstatu autorčina objevu a jeho možné využití v praxi, zmíním se právě o té „kuchyni“. Lidé si obvykle matematiky představují jako obrýlené podivíny ve věžích ze slonoviny, ale mnoho, možná dokonce většina z nich, tento stereotyp nenaplňuje. A Zora Tohlová už vůbec ne. Nejlepší myšlenky jí napadaly v přírodě; jak píše, cestovala se solárním notebookem napříč Spojenými státy, mapovala pro jednu neziskovou organizaci hranice výskytu různých hadích populací a často jen tak pod širým nebem na sebe nechávala působit dynamiku řádu a chaosu v živé přírodě. Tehdy k ní přicházely ty nejzajímavější myšlenky, jež přetvářela do jazyka rovnic a algoritmů. Současně využívala i metody stále ještě mírně kontroverzního matematického experimentování, kdy prostě jen zkoušela metodou pokusu a omylu, zda se některé intuitivní nápady neblíží realitě, jíž chtěla popsat. Už jen pro tyto pasáže stojí za to knihu číst i v případě, že čtenář nedisponuje matematickými znalostmi – a byl bych velmi potěšen, kdyby autorka své poetické sklony a stylistickou vytříbenost uplatnila i beletristicky!
V na jaře roku 2008, poté, co se jí podařilo vyrovnat se s problém předozadní asymetrie, již měla Zora Tohlová k dispozici řešení a vytvořila algoritmus, který dokázal věrohodně modelovat klubko hadů, tedy to, co hadi vlastně dělají, aby se do sebe beznadějně nezamotali. Laicky lze říci, že každý had se, díky zakódovanému směřování k autorkou objevenému atraktoru, vzhledem ke svým sousedům pohybuje tak, že celková míra složitosti systému nikdy nevzroste nad určitou mez.
Nyní zbývalo jediné: předložit ortodoxní a neprůstřelný důkaz. Od hypotézy k důkazu však v matematice vede dlouhá cesta, která někdy, kupříkladu v případě slavné Velké Fermatovy věty, může trvat celá staletí, což však naštěstí nebyl případ objevu dr. Tohlové. Během léta roku 2008 se jí podařilo nalézt důkaz, že její řešení platí pro libovolné konečné celé kladné číslo. Tedy, že libovolné konečné množství hadů umístěných pospolu vždy uchová míru složitosti vzájemné propletenosti pod mezí rozpletitelnosti. Je samozřejmé, že v praxi trvají konkrétný výpočty nesnesitelně dlouhou dobu již v řádu desetitisíců, ale to je problém technický, nikoli koncepční. Bylo na čase výsledky dvouletého snažení zveřejnit.
V závěru své práce autorka navrhuje možná praktická využití svého objevu. Některá z nich jsou velmi odvážná a současně nesmírně fascinující, jako je kupříkladu vytvoření kabelů obdařených „hadí myslí“, jež by se nikdy „nezašmodrchaly“. Zní to jako scifi, ale čip, který by modeloval „hadí mysl“, by mohl být do kabelu „implantován“ vcelku bez problémů – řešení pro jednotky až desítky proměnných nevyžaduje žádný výjimečný výpočetní výkon. Otázkou by bylo, jak vybavit kabely „umělými svaly“, jež by jim umožnily pohybovat se příslušným způsobem. A pokud by to i možné bylo, zůstává otázkou, zda by takové řešení nebylo přeci jen neúnosně drahé. Nicméně kdo ví? Možná, že v kosmickém programu či v jiných oblastech využívajících špičkových technologií se takového řešení dočkáme. Zajímavou myšlenkou je vytvoření umělých hadů – robotických mechanismů určených například k průzkumu úzkých prostor. Autorka se domnívá, že aplikace jejího objevu by takovým strojům zajistila vysokou míru autonomie. Její objev je rovněž velmi zajímavý pro zoology zkoumající hady a červy. Tohlová navíc nyní pracuje na modifikaci svého atraktoru tak, aby umožnil modelovat pohyby chapadel.
Je ovšem také možné, že ta nejpozoruhodnější aplikace autorčina atraktoru se objeví v oblasti, kde to vůbec nečekáme.
Jedno je však zcela zřejmé. Jakkoli je objev Zory Tohlové bezpochyby pozoruhodný a revoluční, nejspíš si i v následujících letech budeme s rozplétáním kabelů lámat hlavu stejně jako nyní.
TOHL, Z. Snakemind Attractor. Miscatonic University Press : Arkham, 2009. 194 stran.